Combinatoire

Combinatoire des polynômes multivariés

Graphe de Yang-Baxter
Graphe de Yang-Baxter

La généralisation de la théorie des polynômes orthogonaux au cas multivarié fait apparaître une difficulté majeure qui réside dans le choix des fonctions de base jouant le rôle des monômes. Il existe, en effet, une grande quantité de possibilités et une façon d'en choisir une consiste à supposer qu'un groupe fini agit sur les variables. C'est une des définitions possibles des polynômes de Jack: ce sont des polynômes orthogonaux multivariés à un paramètre dont la mesure associée provient d'un système de racines (dans le cas qui nous intéresse, il s'agit d'un système de type An; celui des groupes symétriques). En fait, plus que l'algèbre du groupe symétrique, c'est l'algèbre de Hecke double affine dégénérée (les deux sont confondues) qui intervient. Les polynômes de Jack sont alors obtenus grâce à un algorithme qui construit le graphe de Yang-Baxter et les produit de façon efficace, ce qui permet donc d'expérimenter. Ces polynômes ont été généralisés par Griffeth, il y a quelques années, au cas où les multiplicités sont prises dans une représentation irréductible du groupe symétrique. Dans une suite de deux articles en collaboration avec Charles F. Dunkl, professeur émérite de l'université de Virginie, nous avons montré que ces polynômes peuvent être obtenus, eux aussi, grâce à un procédé de type Yang-Baxter dont nous avons étudié la déformation à deux paramètres (polynômes de Macdonald) faisant intervenir l'algèbre de Hecke affine double non dégénérée. Ce qui a motivé ces travaux est un problème de physique lié à la description de l'effet de Hall fractionnaire quantique : trouver de bons polynômes candidats pour être des fonctions d'onde invariantes par translation globale des variables et ayant de bonnes propriétés de factorisation (sous certaines contraintes sur les variables). Les travaux de plusieurs physiciens, en particulier de Bernevig et Haldane, ont mis en évidence qu'une version symétrique des polynômes de Jack présente un intérêt particulier pour cette étude. Dans ce contexte, avec Thierry Jolicoeur du Laboratoire Physique Statistique et Modèles Statistiques de l'université Paris sud, nous avons étudié les polynômes de Jack de plus haut poids (c'est à dire invariants par translation) et nous avons exhibé des familles de tels polynômes. Nous avons donné aussi une version Macdonald des résultats (c'est à dire (q,t)-déformée). L'intérêt de la (q,t)-déformation réside dans le fait que les factorisations sont plus faciles à étudier car tous les facteurs sont différents.

Théorie classique des invariants et Information Quantique

Intersection entre l'orbite d'un système de 3 qutrits et l'espace des formes normales
Intersection entre l'orbite d'un système de 3 qutrits et l'espace des formes normales

Un des problèmes majeurs de la théorie de l'information quantique consiste en la quantification de l'intrication. D'un point de vue mathématique, cette théorie manipule des espaces de Hilbert de dimension finie, représentant l'espace des systèmes de k particules, de la forme H = V1 × V2 × ... × Vk où Vi est l'espace des états de la ie particule du système. La plupart du temps, ce sont des bits quantiques (qubits) qui sont considérés ce qui donne dim Vi = 2. La difficulté de cette théorie réside dans l'étude du comportement non classique, appelé intrication, qui apparaît dès lors que l'on a des systèmes d'au moins deux particules. Les systèmes intriqués sont ceux qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme v1 ⊗ v2. Les propriétés de ces états ont été étudiés dans les années 1930 dans un célèbre article d'Einstein, Podolsky et Rosen, et sont connus sous le nom de paradoxe EPR. Depuis sa découverte le paradoxe EPR a été intensivement étudié par les physiciens et plus récemment par les mathématiciens. Il n'y a pas de consensus général sur la définition de l'intrication pour les systèmes ayant au moins trois parties. Klyachko a proposé de considérer comme intriqués les états qui sont semi-stables pour l'action du groupe SLOCC (Stochastic Local Operation assisted with Classical Communication) dans le sens de la théorie géométrique des invariants. C'est à dire les états dont au moins un invariant non trivial du groupe SLOCC ne s'annule pas. L'intérêt de la théorie géométrique des invariants réside dans le fait qu'elle contient des méthodes permettant de caractériser ces états sans calculer explicitement les invariants. Néanmoins pour les systèmes ayant trois parties et plus, peu de choses sont connues et seules quelques mesures d'intrications pertinentes ont été étudiées pour les systèmes de 3 ou 4 qubits. Dans le but de comprendre la signification de cette propriété, nous avons calculé explicitement les invariants dans quelques cas simples. Les propriétés de non localité d'un état intriqué sont invariantes sous l'action d'opérations unitaires agissant indépendamment sur chacun de ces sous-systèmes.

Modèle de l'oignon, pour les systèmes de 3 bits quantiques, obtenu à partir d'invariants unitaires.
Modèle de l'oignon, pour les systèmes de 3 bits quantiques, obtenu à partir d'invariants unitaires.

L'idée de décrire l'intrication en utilisant la notion d'invariants locaux unitaires a été aussi explorée par les physiciens. Mais, à part dans les cas les plus simples, il y a en général beaucoup trop d'orbites et une classification complète ne peut pas être obtenue. Nous avons étudié une possibilité intermédiaire qui consiste à rechercher les covariants (dans les sens de la théorie classique des invariants) et à décrire une méthode pour en déduire les invariants locaux unitaires. Enfin, plus récemment, nous avons utilisé une autre approche : une description de l'intrication grâce à la géométrie algébrique et les variétés auxiliaires. Nous avons obtenu dans quelques cas simples, une classification géométrique que nous avons comparé avec les résultats obtenus grâce aux calculs des covariants. Cette approche a deux intérêts : d'une part elle est complémentaire du calcul des covariants et permet donc d'obtenir plus rapidement des résultats, d'autre part elle fournit des algorithmes permettant de déterminer dans quelle orbite se trouve un système donné.